Квадратура круга
Квадратура круга — задача, заключающаяся в нахождении способа построения с помощью линейки и циркуля (без шкалы с делениями) квадрата, равновеликого по площади данному кругу.
История нахождения квадратуры круга длилась 4 тысячелетия, а сам термин стал синонимом для неразрешимых задач. Как следует из подобия кругов, отношение длины окружности к её диаметру есть величина постоянная, не зависящая от радиуса круга, она обозначается буквой π.
Таким образом, длина окружности круга радиуса r равна 2πr, а так как площадь круга круга равна S=πr^2, то задача о квадратуре круга сводится к задаче построения треугольника с основанием 2πr и высотой r.
Все уточнения числа π до конца 16 века производились Архимедом: окружность заменялась многоугольником со всё большим числом сторон. Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника больше.
Но при этом оставалось неясным, является ли число π рациональным. Лишь в 1767 г. немецкий математик И.Г. Ламберт доказал, что оно иррационально, а в 1882 году другой немецкий математик Карл Луис Фердинанд фон Линдеман доказал трансцендентность числа π, что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрат, равновеликого данному кругу, но существует приближенное решение данной задачи.
Фердинанд фон Линдеман
Иоганн Генрих Ламберт